Diketahuisistem persamaan tiga variabel berikut: ⎩⎨⎧ x+12 + y−32 + z+23 = 2 (1) x+1−4 + y−31 + z+26 = 5 (2) x+14 + y−33 + z+23 = 2 (3) Iklan PN P. Nur Master Teacher Jawaban terverifikasi Pembahasan Ingat bahwa persamaan linear adalah persamaan yang mengandung variabel berpangkat satu. 1) x + y = 6 (2) Seperti sudah dijelaskan sebelumnya, sistem persamaan linear bisa diselesaikan dengan berbagai metode. Berikut ini adalah penyelesaian sistem persamaan linear pada contoh di atas dengan menggunakan beberapa metode. Penyelesaian sistem persamaan linear dengan menggunakan metode grafik 1pt Jika x, y, dan z penyelesaian dari SPLTV x+3y+z=0 x+3y+z = 0 2x-y+z=5 2x−y+z = 5 3x-3y+2z=10 3x−3y+2z =10 maka nilai dari x . y . z = . - 4 - 3 - 2 2 4 Multiple Choice 30 seconds Diketahuisistem persamaan linear tiga variabel. x+3y-2z= a . (1) 2x-3y+4z= b . (2) 3x-4y+8z= c . (3) Nilai 3x-2y+5z=18. Untuk mencari nilai a+b+c, maka jumlahkan ketiga persamaan tersebut. sehingga diperoleh. Dengan demikian, nilai a + b + c = 36. 1 Diketahui x + 3y + 2z = 16, 2x + 4y - 2z = 12, dan x + y + 4z = 20. Tentukan nilai x, y, z! Pembahasan: Substitusi x + y + 4z = 20 x = 20 - y - 4z x + 3y + 2z = 16 (20 - y - 4z) + 3y + 2z = 16 2y - 2z + 20 = 16 2y - 2z = 16 - 20 2y - 2z = -4 y - z = -2 2x + 4y - 2z = 12 2 (20 - y - 4z) + 4y - 2z = 12 40 - 2y - 8z + 4y - 2z = 12 cara mengamalkan surat yusuf ayat 4 jarak jauh. MatematikaALJABAR Kelas 10 SMASistem Persamaan LinearSistem Persamaan Linear Tiga VariabelDiketahui sistem persamaan tiga variabel berikut. 2/x+1+2/y-3+3/z+1=2 -4/x+1+1/y-3+6/z+2=5 4/x+1+5/y-3+3/z+1=2 Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan tersebut adalah . . . .Sistem Persamaan Linear Tiga VariabelSistem Persamaan LinearALJABARMatematikaRekomendasi video solusi lainnya0149Jumlah tiga buah bilangan adalah 75 Bilangan pertama lima...0246Sistem persamaan x+z=3 2y-z=1 x-y=1 mempunyai penyelesaia...0146Tiga tahun lalu, jumlah usia Hesti, Ilham, dan Johan adal...0155Bu Sari mempunyai uang pecahan lima ribuan, sepuluh ribua...Teks videojadi pertama-tama kita untuk = 1 per x + 1 untuk punya = 1 dan hari ini digunakan untuk mempermudah kita dalam melakukan metode eliminasi dan subtitusi jadi bentuknya yang pertama jadi 2 P + 2 Q + 3 r = 2 lalu yang kedua itu Min 4 P + Q + R = 5 yang ketiga itu adalah 4 p + 3 Q + 3 r = 2 lalu kita kan pertama dikalikan dengan 2 dan kita akan gunakan yang kedua 4 P + 4 Q + 6 R = 4albumin 4 P + Q + 6 R = 5 lalu kita kan jumlahkan jadi 5 Q + 12 R = 9 ini yang sistem Bhineka 4 lalu kita akan gunakan yang kedua dan yang ketiga jadi min 4 P + Q + 6 R = 54 p + 3 Q + 3 r = 2 kita akan di kita dapatkan 4 Q + 9 R = 7 berarti ini sistem linear yang ke-5 yang keempat dan yang kelima tetapi yang keempatnya kita akan kalikan dengan 3 dan yang kelimanya cetakan kalikan dengan 4 15 R = 27 jadi 16 Q + 30 R = 28 kita kan kurang kan jadi min Q = min 1 jadinya sama dengan 1 lalu kita akan gunakan di 5 dikalikan qibata dikalikan dengan 1 + 12 R = 9 jadi 12 R = 4 r nya = 1 per 3 lalu kita akan gunakan yang pertama T2 dikalikan dengan P + 2 x dengan Kiki nya 1 + dengan 3 dikalikan dengan 1 per 3 = i 2 P + 2 + 1 = 2 jadi 2 P = min 1 Jadi ip-nya sekarang kita akan cari nilai x y dan z nya berarti di sini p-nya = min 1 per 2 berarti Kakak Masukkan 1 per x + 1 = min 1 per 2 jadi kita dapatkan x-nya itu adalah 2 = min x min 1 x = min 3 lalu mencari untuk yang kakinya untuk yg Berarti tadi kita dapatkan 1 lalu kita akan kembalikan lagi jadi 1 per y min 3 = 1 jadi y min 3 = 1 Y = 4 dan yang terakhir yang sama dengan 1 per 3 tak kembalikan jadi 1 per x + 2 = 1 per 3 jadi 3 = Z + 2 Z = 1 jadi kita mendapatkan x y = min 3 Y = 4 dan z = 1 berarti himpunan penyelesaiannya batik yang X lebih dahulu lalu diikuti dengan y dan diikuti dengan z jadi jawabannya adalah yang sampai jumpa pada soal berikut nya Contoh soal Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel SPLTV terdiri dari tiga persamaan linear, masing-masing memiliki persamaan dengan tiga variabel berpangkat satu. Agar bisa mengerjakan soalnya, tentunya Anda perlu memahami konsep Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel. Konsep Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel Berikut konsep sistem persamaan linear tiga variabel SPLTV dalam Matematika ax + by + cz = d Keterangan Dalam konsep di atas terlihat bahwa x,y dan z merupakan variabel a dikatakan sebagai koefisien variabel x b dikatakan sebagai koefisien variabel y c dikatakan sebagai variabel z d dikatakan sebagai konstanta Penting diingat catatannya a, b dan c merupakan bilangan real, a>0, b>0, c>0 Konsep SPLTV merupakan sistem persamaan aljabar yang terdiri dari tiga variabel dan mengandung perkalian konstanta dengan variabel tunggal. Terlihat dari konsep di atas, ketiga variabel tersebut yaitu x,y dan z. Pengertian Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel Bentuk Umum Sistem Persamaan Tiga Variabel Dalam materi Matematika kelas 10 sebelumnya, Anda sudah belajar mengenai Sistem Persamaan Linear Dua Variabel SPLDV. Persamaan ini terdiri atas dua persamaan linear yang masing-masing memiliki dua variabel. Sementara itu, sesuai namanya, SPLTV memiliki tiga variabel yaitu x, y dan z. Agar lebih mudah memahami antara Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel SPLTV dengan dua variabel SPLDV, sebaiknya ketahui contoh soal dan cara penyelesaiannya terlebih dahulu. Menyelesaikan contoh soal Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel, tidak cukup memahami rumusnya saja. Penting mengetahui bentuk dan cara menyelesaikan persamaannya yaitu dengan mencari nilai x, y dan z yang memenuhi persamaan pertama, kedua dan tiga. Untuk menyelesaikan soal SPLTV bisa menggunakan metode berikut Eliminasi Substitusi Eliminasi-subsitusi Determinan matriks Cara Menyelesaikan Soal Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel Contoh Soal Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel Dalam Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel di bagian akhir penylesaiannya biasanya memiliki bentuk HP Himpunan penyelesaian. Nantinya hasil penyelesaian dinyatakan dalam x,y dan z. Berikut cara menyelesaikan soal SPLTV melansir dari 1. Metode Eliminasi Metode eliminasi artinya salah satu variabel harus dihilangkan. Misalnya diketahui ada tiga variabel dalam suatu persamaan yaitu x,y dan z. Dari sini, Anda bisa menghilangkan variabel z atau lainnya. Berikut contoh soalnya x + y + z= 3 2x + y – 5z= -83x – 2y + z= 5_____________ –Pembahasan Langkah pertama, Anda bisa eliminasi y dengan memilih 2 persamaan berikutx + y + z= 3 2x + y – 5z= -8_____________ –-x + 6z = 11 Untuk bisa mencari nilai x dan z, Anda membutuhkan persamaan lainnya yang memiliki variabel x dan z juga. Caranya ambil persamaan pertama dari ketiga dari soal di atas. Agar bisa mengetahui nilai y, semua unsur dari persamaan 1 bisa dikali 2 dan persamaan 2 kalikan 1. Hasilnya akan diperoleh seperti ini x + y + z= 3 x23x - 2y +2= 5 x1_____________ –2x + 2y + 2z= 63x - 2y +z= 5 ____________ –5x + 3z = 11 Sekarang Anda sudah memiliki 2 persamaan. Balik lagi ke sistem persamaan linear 2 variabel, berikut cara mengerjakannya -x + 6z= 11 x15x +3z= 11 x2_____________ –-x + 6z= 11 10x +6z= 22__________ –-11x= -11x= 1 Untuk mencari nilai y dan z lanjutkan dengan cara metode substitusi berikut. 2. Metode Substitusi Dari contoh soal persamaan linear tiga variabel di atas, Anda sudah mendapatkan nilai x. Selanjutnya nilai y dan z bisa ditemukan dengan cara substitusikan nilai x ke bentuk persamaan lain. 5x + 3z= 1151 + 3z= 113z= 6z= 2x + y + z = 31 + y + 2= 3y=0 Dari soal contoh soal tersebut, nilai x, y dan z sudah diketahui. Jadi himpunan penyelesaiannya yaituHP= 1,0,2 Contoh soal Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel SPLTV di atas bisa Anda jadikan sebagai panduan menyelesaikan tugas Matematika. Metode eliminasi dan substitusi memang paling banyak dipilih karena dianggap lebih mudah. Halo! Apa kabar semuanya? Semoga selalu dalam keadaan baik-baik saja ya! Di kesempatan kali ini kita akan melanjutkan materi Matematika kelas 10 bab 2 mengenai sistem persamaan linear tiga variabel. Apakah kamu sudah siap? Jangan lupa buka buku tulismu, siapkan pensil, dan buku ajar Matematika keluaran Kemdikbud. Oke, langsung simak ulasan di bawah ini ya! Bab 2 Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel Cheerful Indian Boy/Student with Mathematics Problems Menyusun dan Menemukan Konsep Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel Definisi Sistem persamaan linear tiga variabel adalah suatu sistem persamaan linear dengan tiga variabel. Contoh Diketahui tiga persamaan 1/x + 1/y + 1/z = 2, 2p + 3q – r = 6, dan p + 3q = 3. Ketiga persamaan ini tidak membentuk sistem persamaan linear tiga variabel, sebab persamaan 1 /x + 1/y + 1/z = 2 bukan persamaan linear. Jika persamaan 1/x + 1/y + 1/z = 2 diselesaikan, diperoleh persamaan zx + y + xy = 2xyz yang tidak linear. Alasan kedua adalah variabel-variabelnya tidak saling terkait. Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel Perbedaan antara sistem persamaan linear dua variabel SPLDV dengan sistem persamaan linear tiga variabel SPLTV terletak pada banyak persamaan dan variabel yang digunakan. Oleh karena itu, penentuan himpunan penyelesaian SPLTV dilakukan dengan cara atau metode yang sama dengan penentuan penyelesaian SPLDV, kecuali dengan metode grafik. Umumnya penyelesaian sistem persamaan linear tiga variable diselesaikan dengan metode eliminasi dan substitusi. Definisi Himpunan penyelesaian sistem persamaan linear dengan tiga variable adalah suatu himpunan semua triple terurut x, y, z yang memenuhi setiap persamaan linear pada sistem persamaan tersebut. Contoh Jumlah tiga bilangan sama dengan 45. Bilangan pertama ditambah 4 sama dengan bilangan kedua, dan bilangan ketiga dikurangi 17 sama dengan bilangan pertama. Tentukan masing-masing bilangan tersebut. Alternatif Penyelesaian Misalkan x = bilangan pertama y = bilangan kedua z = bilangan ketiga Berdasarkan informasi pada soal diperoleh persamaan sebagai berikut. x + y + z = 45 x + 4 = y z – 17 = x Ditanyakan Bilangan x, y, dan z. Kamu dapat melakukan proses eliminasi pada persamaan dan sehingga diperoleh Selain metode eliminasi, substitusi, dan campuran antara eliminasi dan substitusi kamu dapat mencoba sendiri, terdapat cara lain untuk menyelesaikan suatu SPLTV, yaitu dengan cara determinan dan menggunakan invers matriks. Namun, pada bab ini metode ini tidak dikaji. Sekarang kita akan menemukan penyelesaian SPLTV dengan metode lain. Kita menententukan himpunan penyelesaian SPLTV secara umum berdasarkan konsep dan bentuk umum SPLTV yang telah ditemukan dengan mengikuti langkah penyelesaian metode eliminasi di atas untuk menemukan cara baru. Perhatikan bentuk umum sistem persamaan linear dengan tiga variabel x, y, dan z adalah sebagai berikut. Bentuk umum sistem persamaan linear dengan tiga variabel x, y, dan z adalah Lakukan kegiatan matematisasi mengkoordinasi pengetahuan dan keterampilan yang telah dimiliki siswa sebelumnya untuk menemukan aturan-aturan, hubungan-hubungan, dan struktur-struktur yang belum diketahui. Nilai variabel z di atas dapat dinyatakan sebagai hasil perkalian koefisienkoefisien variabel x, y, dan konstanta pada sistem persamaan linear yang diketahui. Dengan menggunakan cara menentukan nilai z, ditentukan nilai x dan y dengan cara berikut. Daftar Pustaka Bornok Sinaga, Pardomuan Sinambela, Andri Kristianto Sitanggang, Tri Andri Hutapea, Sudianto Manulang, Lasker Pengarapan Sinaga, dan Mangara Simanjorang. 2017. Matematika SMA/MA/SMK/MK Kelas X. Jakarta Pusat Kurikulum dan Perbukuan, Balitbang, Kemendikbud. This post was last modified on April 12, 2023 951 am Daftar isiPengertian Sistem Persamaan Linear Tiga VariabelBentuk Umum SPLTVMetode Penyelesaian SPLTV1. Metode Substitusi2. Metode Eliminasi3. Metode Matriks dan Operasi Baris Elementer4. Metode CramerContoh Soal SPLTVSistem persamaan linear tiga variabel adalah konsep penting dalam matematika yang memiliki aplikasi luas di berbagai bidang, seperti fisika, ekonomi, dan teknik. Dalam sistem ini, terdapat tiga persamaan linear yang melibatkan tiga variabel yang saling mempengaruhi satu sama dan menguasai konsep ini menjadi kunci untuk memecahkan masalah yang melibatkan hubungan kompleks antara variabel-variabel tersebut. Dalam artikel ini, kita akan menjelajahi sifat-sifat dasar dari sistem persamaan linear tiga variabel, metode penyelesaiannya, dan penerapannya dalam kehidupan persamaan linear tiga variabel merujuk pada kumpulan tiga persamaan linear yang melibatkan tiga variabel yang tidak diketahui. Dalam matematika, persamaan linear adalah persamaan yang melibatkan variabel-variabel dengan pangkat yang hanya satu, dan tidak ada produk atau pangkat yang lebih tinggi dari variabel konteks sistem persamaan linear tiga variabel, tiga persamaan tersebut biasanya berbentuka₁x + b₁y + c₁z = d₁a₂x + b₂y + c₂z = d₂a₃x + b₃y + c₃z = d₃Di mana x, y, dan z adalah variabel-variabel yang tidak diketahui, sementara a₁, a₂, a₃, b₁, b₂, b₃, c₁, c₂, c₃, d₁, d₂, dan d₃ adalah koefisien-koefisien yang sistem persamaan linear tiga variabel melibatkan mencari nilai-nilai variabel x, y, dan z yang memenuhi ketiga persamaan tersebut secara simultan. Solusi dari sistem persamaan linear tiga variabel bisa berupa satu titik tunggal, beberapa titik, atau tidak ada titik sama yang baik tentang sistem persamaan linear tiga variabel sangat penting karena memungkinkan kita untuk memodelkan dan menganalisis berbagai situasi nyata yang melibatkan tiga faktor yang saling Umum SPLTVBentuk umum dari Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel SPLTV dapat dinyatakan sebagai berikuta₁x + b₁y + c₁z = d₁a₂x + b₂y + c₂z = d₂a₃x + b₃y + c₃z = d₃Di sini, x, y, dan z mewakili variabel-variabel yang tidak diketahui dalam SPLTV. Sedangkan a₁, a₂, a₃, b₁, b₂, b₃, c₁, c₂, c₃ adalah koefisien-koefisien yang diketahui, dan d₁, d₂, d₃ adalah konstanta-konstanta yang umum SPLTV ini menunjukkan hubungan linear antara tiga variabel dan memungkinkan kita untuk menganalisis sistem tersebut. Dalam pemecahan SPLTV, tujuan utamanya adalah menemukan nilai-nilai x, y, dan z yang memenuhi ketiga persamaan tersebut secara dari SPLTV dapat berupaTidak ada solusi Ketika ketiga persamaan saling bertentangan dan tidak ada titik yang memenuhi unik Ketika ketiga persamaan membentuk sebuah titik tunggal yang memenuhi tak terhingga Ketika ketiga persamaan saling bergantung satu sama lain dan membentuk garis atau bidang yang memiliki banyak titik yang memenuhi umum SPLTV menjadi dasar dalam menerapkan metode penyelesaian yang sesuai untuk mencari solusi dari sistem persamaan linear tiga variabel Penyelesaian SPLTVAda beberapa metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel SPLTV. Berikut adalah beberapa metode umum yang sering digunakan1. Metode SubstitusiMetode ini melibatkan mengisolasi salah satu variabel dalam salah satu persamaan, kemudian menggantikan variabel tersebut dalam persamaan lain. Proses ini dilakukan berulang kali hingga ditemukan solusi yang memenuhi semua Metode EliminasiMetode ini melibatkan mengeliminasi satu variabel secara bertahap dengan menggabungkan persamaan-persamaan dalam sistem. Caranya adalah dengan mengalikan atau menambahkan persamaan-persamaan tersebut sehingga variabel yang ingin dieliminasi menghilang. Proses ini dilakukan berulang kali hingga ditemukan solusi yang memenuhi semua Metode Matriks dan Operasi Baris ElementerDalam metode ini, SPLTV diubah menjadi bentuk matriks dengan menggunakan koefisien-koefisien dalam sistem. Kemudian, operasi baris elementer, seperti mengalikan baris dengan suatu konstanta, menukar baris, atau menambahkan baris, digunakan untuk menyederhanakan matriks menjadi bentuk yang lebih mudah dipecahkan. Akhirnya, matriks tersebut dipecahkan menggunakan metode invers, determinan, atau eliminasi Gauss-Jordan untuk mendapatkan solusi Metode CramerMetode ini menggunakan determinan-determinan untuk mencari solusi SPLTV. Setiap variabel diperlakukan sebagai penentu tunggal dalam sistem persamaan. Dengan menggunakan matriks koefisien dan matriks hasil, determinan-determinan ini dihitung dan dibagi dengan determinan utama untuk mendapatkan nilai-nilai metode penyelesaian SPLTV tergantung pada kompleksitas sistem dan preferensi pribadi. Dalam prakteknya, kombinasi dari beberapa metode di atas juga dapat digunakan untuk menemukan solusi SPLTV dengan Soal SPLTVBerikut adalah contoh soal SPLTV beserta jawabannyaSoalTentukan solusi dari sistem persamaan linear tiga variabel berikut2x + y – z = 5x – 3y + 2z = -43x + 2y + 4z = 2JawabanKita dapat menggunakan metode eliminasi untuk menyelesaikan SPLTV ini. Berikut langkah-langkah penyelesaiannyaMengeliminasi variabel x dari persamaan pertama dan keduaKali persamaan pertama dengan 3 dan persamaan kedua dengan + 3y – 3z = 152x – 6y + 4z = -8Kurangi persamaan kedua dari persamaan pertama yang sudah dikalikan.6x + 3y – 3z – 2x – 6y + 4z = 15 – -84x + 9y – 7z = 23Mengeliminasi variabel x dari persamaan pertama dan ketigaKali persamaan pertama dengan 3 dan persamaan ketiga dengan + 3y – 3z = 156x + 4y + 8z = 4Kurangi persamaan ketiga dari persamaan pertama yang sudah dikalikan.6x + 3y – 3z – 6x + 4y + 8z = 15 – 4-y – 11z = 11Mengeliminasi variabel y dari persamaan kedua dan ketigaKali persamaan kedua dengan 2 dan persamaan ketiga dengan – 6y + 4z = -89x + 6y + 12z = 6Kurangi persamaan ketiga dari persamaan kedua yang sudah dikalikan.9x + 6y + 12z – 2x – 6y + 4z = 6 – -87x + 12z = 14Sekarang kita memiliki tiga persamaan4x + 9y – 7z = 23-y – 11z = 117x + 12z = 14Dengan menggunakan metode eliminasi atau substitusi lanjutan, kita dapat mencari nilai-nilai variabel. Setelah melakukan perhitungan, kita akan mendapatkanx = 3y = -2z = 1Jadi, solusi dari sistem persamaan linear tiga variabel tersebut adalah x = 3, y = -2, dan z = keseluruhan, sistem persamaan linear tiga variabel merupakan alat yang penting dalam matematika terapan. Dengan mempelajari dan memahami cara menyelesaikan sistem persamaan ini, kita dapat menganalisis dan memecahkan berbagai masalah dunia nyata yang melibatkan hubungan memecahkan sistem persamaan linear tiga variabel, kita menggunakan metode dan teknik matematis yang membantu kita mencari solusi yang konsisten dan memuaskan. Melalui pemahaman yang baik tentang sistem persamaan linear tiga variabel, kita dapat mengidentifikasi pola, hubungan, dan ketergantungan antarvariabel yang persamaan ini dapat digunakan dalam berbagai bidang seperti ilmu fisika, ekonomi, dan teknik, di mana kita perlu menganalisis hubungan kompleks antara tiga variabel yang saling menggunakan konsep dan metode yang tepat, kita dapat menemukan solusi yang akurat dan relevan untuk sistem persamaan linear tiga variabel. Selain itu, pemahaman yang mendalam tentang sistem persamaan ini memberikan landasan yang kuat bagi pengembangan pengetahuan matematika kita dan membantu kita memecahkan masalah yang lebih kompleks di masa depan. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel SPLTV merupakan salah satu materi matematika wajib / peminatan yang dipelajari saat tingkat SMA, tepatnya di kelas X. Materi ini sebenarnya merupakan lanjutan dari materi SPLDV yang sudah dipelajari saat tingkat SMP. Oleh karenanya, pembaca disarankan sudah menguasai metode penyelesaian SPLDV terlebih dahulu. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel SPLTV diartikan sebagai kumpulan persamaan linear yang memuat tiga variabel dengan bentuk umum $$\begin{cases} a_1x + b_1y + c_1z & = d_1 \\ a_2x + b_2y + c_2z & = d_2 \\ a_3x + b_3y + c_3z & = d_3 \end{cases}$$ Untuk memantapkan pemahaman tentang materi SPLTV ini, berikut disajikan sejumlah soal beserta pembahasannya dengan tipe berupa soal ingatan dan pemahaman soal noncerita. Soal juga dapat diunduh dengan mengklik tautan berikut Download PDF, 145 KB. Baca Juga Soal dan Pembahasan – Sistem Persamaan Linear Dua Variabel SPLDV Baca Juga Soal dan Pembahasan – Soal Cerita Aplikasi Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel SPLTV Quote by Ki Hajar Dewantara Jadikan setiap tempat sebagai sekolah dan jadikan setiap orang sebagai guru. Bagian Pilihan Ganda Soal Nomor 1 Perhatikan beberapa sistem persamaan linear berikut. $1$. $\begin{cases} 4x+y+z & = y-2 \\ 3x+2z & = 2y \\ 3y+z & = 0 \end{cases}$ $2$. $\begin{cases} x-y+4 & = 4 \\ 10x-2y+2 & = z+2 \\ 6x-y & = 2y \end{cases}$ $3$. $\begin{cases} 5y+3z+2 & = x+2 \\ 2y-5z & = 0 \\ 13y-z+100 & = 100 \end{cases}$ $4$. $\begin{cases} 10-x+z & = 5y+10 \\ 5x+3y & = 2z+5 \\ 7x+y+11z & = 0 \end{cases}$ Sistem persamaan linear homogen ditunjukkan oleh nomor $\cdots \cdot$ A. $1, 2$, dan $3$ B. $1, 2$, dan $4$ C. $1$ dan $3$ D. $2$ dan $3$ E. $2$ dan $4$ Pembahasan Sistem persamaan linear homogen adalah sistem persamaan linear yang masing-masing persamaannya berkonstanta $0$. Bentuk umumnya adalah $\begin{cases} a_1x + b_1y + c_1z & = 0 \\ a_2x + b_2y + c_2z & = 0 \\ a_3x + b_3y + c_3z & = 0 \end{cases}$ Analisis SPL nomor $1$ $\begin{cases} 4x+y+z & = y-2 \\ 3x+2z & = 2y \\ 3y+z & = 0 \end{cases}$ Ubah SPL di atas menjadi bentuk umumnya. $\begin{cases} 4x+z& = -2 && \cdots 1 \\ 3x-2y+2z & = 0 && \cdots 2 \\ 3y+z & = 0 && \cdots 3 \end{cases}$ Tampak bahwa persamaan $1$ memuat konstanta $-2$ sehingga SPL tersebut tidak homogen. Analisis SPL nomor $2$ $\begin{cases} x-y+4 & = 4 \\ 10x-2y+2 & = z+2 \\ 6x-y & = 2y \end{cases}$ Ubah SPL di atas menjadi bentuk umumnya. $\begin{cases} x-y & = 0 \\ 10x-2y-z & = 0 \\ 6x-3y& = 0 \end{cases}$ SPL di atas homogen karena seluruh persamaannya berkonstanta $0$. Analisis SPL nomor $3$ $\begin{cases} 5y+3z+2 & = x+2 \\ 2y-5z & = 0 \\ 13y-z+100 & = 100 \end{cases}$ Ubah SPL di atas menjadi bentuk umumnya. $\begin{cases} -x+5y+3z & = 0 \\ 2y-5z & = 0 \\ 13y-z& =0 \end{cases}$ SPL di atas homogen karena seluruh persamaannya berkonstanta $0$. Analisis SPL nomor $4$ $\begin{cases} 10-x+z & = 5y+10 \\ 5x+3y & = 2z+5 \\ 7x+y+11z & = 0 \end{cases}$ Ubah SPL di atas menjadi bentuk umumnya. $\begin{cases} -x-5y+z & = 0 && \cdots 1 \\ 5x+3y-2z & = 5 && \cdots 2 \\ 7x+y+11z & = 0 && \cdots 3 \end{cases}$ Tampak bahwa persamaan $2$ memuat konstanta $5$ sehingga SPL tersebut tidak homogen. Jadi, sistem persamaan linear homogen ditunjukkan oleh nomor $2$ dan $3$. Jawaban D [collapse] Soal Nomor 2 Sistem persamaan linear tiga variabel yang tidak mempunyai penyelesaian ditunjukkan oleh $\cdots \cdot$ A. $\begin{cases} 2x-y+4z & =15 \\ 4x-2y+4z& =30 \\ 6x-3y+12z & = 45 \end{cases}$ B. $\begin{cases} 2x-y+4z & =15 \\ 4x-2y+4z& =45 \\ 6x-3y+12z & = 60 \end{cases}$ C. $\begin{cases} 2x-y+4z & =15 \\ 4x-2y+8z& =30 \\ 6x+3y+12z & = 45 \end{cases}$ D. $\begin{cases} 2x-y+4z & =15 \\ 4x-2y+8z& =30 \\ 6x-3y+12z & = 45 \end{cases}$ E. $\begin{cases} 2x-y+4z & =15 \\ 4x-2y+8z& =30 \\ 2x+y-4z & = 15 \end{cases}$ Pembahasan Analisis SPLTV pada pilihan A $\begin{cases} 2x-y+4z & =15 \\ 4x-2y+4z& =30 \\ 6x-3y+12z & = 45 \end{cases}$ dapat disederhanakan menjadi $\begin{cases} 2x-y+4z & =15 && \cdots 1 \\ 2x-y+2z& =15 && \cdots 2 \\ 2x-y+4z & = 15 && \cdots 3 \end{cases}$ Perhatikan bahwa persamaan $1$ dan $3$ sebenarnya ekuivalen sehingga SPLTV tersebut hanya memuat $2$ persamaan dan $3$ variabel. Dengan demikian, SPLTV tersebut akan memiliki banyak penyelesaian. Analisis SPLTV pada pilihan B $\begin{cases} 2x-y+4z & =15 \\ 4x-2y+4z& =45 \\ 6x-3y+12z & = 60 \end{cases}$ dapat disederhanakan menjadi $\begin{cases} 2x-y+4z & =15 && \cdots 1 \\ 2x-y+2z& =22,5 && \cdots 2 \\ 2x-y+4z & = 20 && \cdots 3 \end{cases}$ Perhatikan bahwa persamaan $1$ dan $3$ tidak akan mungkin terpenuhi perhatikan perbedaan konstantanya sehingga SPLTV tersebut tidak memiliki penyelesaian. Analisis SPLTV pada pilihan C $\begin{cases} 2x-y+4z & =15 \\ 4x-2y+8z& =30 \\ 6x+3y+12z & = 45 \end{cases}$ dapat disederhanakan menjadi $\begin{cases} 2x-y+4z & =15 && \cdots 1 \\ 2x-y+4z& =15 && \cdots 2 \\ 2x+y+4z & = 15 && \cdots 3 \end{cases}$ Perhatikan bahwa persamaan $1$ dan $2$ ekuivalen sehingga SPLTV tersebut sebenarnya hanya memuat $2$ persamaan dan $3$ variabel. Dengan demikian, SPLTV tersebut akan memiliki banyak penyelesaian. Analisis SPLTV pada pilihan D $\begin{cases} 2x-y+4z & =15 \\ 4x-2y+8z& =30 \\ 6x-3y+12z & = 45 \end{cases}$ dapat disederhanakan menjadi $\begin{cases} 2x-y+4z & =15 && \cdots 1 \\ 2x-y+4z& =15 && \cdots 2 \\ 2x-y+4z & = 15 && \cdots 3 \end{cases}$ Perhatikan bahwa persamaan $1, 2$, dan $3$ ekuivalen sehingga SPLTV tersebut sebenarnya hanya memuat $1$ persamaan dan $3$ variabel. Dengan demikian, SPLTV tersebut akan memiliki banyak penyelesaian. Analisis SPLTV pada pilihan E $\begin{cases} 2x-y+4z & =15 \\ 4x-2y+8z& =30 \\ 2x+y-4z & = 15 \end{cases}$ dapat disederhanakan menjadi $\begin{cases} 2x-y+4z & =15 && \cdots 1 \\ 2x-y+4z& =15 && \cdots 2 \\ 2x+y-4z & = 15 && \cdots 3 \end{cases}$ Perhatikan bahwa persamaan $1$ dan $2$ ekuivalen sehingga SPLTV tersebut sebenarnya hanya memuat $2$ persamaan dan $3$ variabel. Dengan demikian, SPLTV tersebut akan memiliki banyak penyelesaian. Jawaban B [collapse] Soal Nomor 3 Diketahui sistem persamaan linear $\begin{cases} x+y-z & =-3 \\ x+2y+z & =7 \\ 2x+y+z & = 4 \end{cases}$ Nilai dari $x+y+z= \cdots \cdot$ A. $3$ C. $5$ E. $8$ B. $4$ D. $6$ Pembahasan Kita beri nama setiap persamaan pada sistem terlebih dahulu. $\begin{cases} x+y-z & =-3 && \cdots 1 \\ x+2y+z & =7 && \cdots 2 \\ 2x+y+z & = 4 && \cdots 3 \end{cases}$ Eliminasi $z$ dari persamaan $1$ dan $2.$ $\begin{aligned} \! \begin{aligned} x+y-z & = -3 \\ x+2y+z& = 7 \end{aligned} \\ \rule{3 cm}{ + \\ \! \begin{aligned}~\color{blue}{2x+3y = 4~~~~\cdots 4} \end{aligned} \end{aligned}$ Eliminasi $z$ dari persamaan $2$ dan $3.$ $\begin{aligned} \! \begin{aligned} x+2y+z & = 7 \\ 2x+y+z & = 4 \end{aligned} \\ \rule{3 cm}{ – \\ \! \begin{aligned} \color{blue}{-x+y = 3~~~~\cdots 5} \end{aligned} \end{aligned}$ Selanjutnya, eliminasi $x$ dari persamaan $4$ dan $5$ untuk mendapatkan nilai $y$. $\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2x+3y & = 4 \\ -x+y & = 3 \end{aligned} \left \! \begin{aligned} \times 1 \\ \times 2 \end{aligned} \right & \! \begin{aligned}~2x+3y& = 4 \\ -2x+2y & = 6 \end{aligned} \\ & \rule{ cm}{ + \\ & \! \begin{aligned} 5y & = 10 \\ y & = 2 \end{aligned} \end{aligned}$ Substitusi $y = 2$ pada persamaan $5$ untuk memperoleh $-x + 2 = 3 \Leftrightarrow x = -1.$ Terakhir, substitusi $x=-1$ dan $y=2$ pada persamaan $1 x+y-z=-3$ untuk mendapatkan $-1+2-z=-3 \Leftrightarrow z = 4.$ Jadi, nilai dari $\boxed{x+y+z=-1+2+4=5}$ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 4 Jika $\{x_0, y_0, z_0\}$ memenuhi sistem persamaan $\begin{cases} 3x-2y-3z & =5 \\ x+y-2z & =3 \\ x-y+z & =-4 \end{cases}$, maka nilai $z_0$ adalah $\cdots \cdot$ A. $-3$ C. $-1$ E. $5$ B. $-2$ D. $4$ Pembahasan Kita beri nama setiap persamaan pada sistem terlebih dahulu. $\begin{cases} 3x-2y-3z & =5 && \cdots 1 \\ x+y-2z & =3 && \cdots 2 \\ x-y+z & =-4 && \cdots 3 \end{cases}$ Persamaan $3$ dapat ditulis menjadi $x = -4+y-z.$ Substitusikan pada persamaan $1$ terlebih dahulu. $$\begin{aligned} 3\color{red}{x}-2y-3z & = 5 \\ 3\color{red}{-4+y-z}-2y-3z & = 5 \\ -12+3y-3z-2y-3z & = 5 \\ y-6z & = 17 && \cdots 4 \end{aligned}$$Selanjutnya, substitusikan pada persamaan $2$. $\begin{aligned} \color{red}{x}+y-2z & = 3 \\ \color{red}{-4+y-z}+y-2z & = 3 \\ 2y-3z & = 7 && \cdots 5 \end{aligned}$ Eliminasi $y$ dari persamaan $4$ dan $5$ untuk menentukan nilai $z$. $\begin{aligned} \! \begin{aligned} y-6z & = 17 \\ 2y-3z & = 7 \end{aligned} \left \! \begin{aligned} \times 2 \\ \times 1 \end{aligned} \right & \! \begin{aligned}~2y-12z& = 34 \\ 2y-3z & = 7 \end{aligned} \\ & \rule{ cm}{ – \\ & \! \begin{aligned} -9z & = 27 \\ z & = -3 \end{aligned} \end{aligned}$ Jadi, nilai $\boxed{z_0 = -3}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 5 Diberikan sistem persamaan berikut. $\begin{cases} x+y+z & =1 \\ 2x-y-z & = -5 \\ 2x-2y-z & = 7 \end{cases}$ Nilai $x$ adalah $\cdots \cdot$ A. $-2$ D. $\dfrac23$ B. $-\dfrac43$ E. $\dfrac43$ C. $-\dfrac23$ Pembahasan Kita beri nama setiap persamaan pada sistem terlebih dahulu. $\begin{cases} x+y+z & =1 && \cdots 1 \\ 2x-y-z & = -5 && \cdots 2 \\ 2x-2y-z & = 7 && \cdots 3 \end{cases}$ Eliminasi $y$ dan $z$ pada persamaan $1$ dan $2$. $\begin{aligned} \! \begin{aligned} x+y+z & = 1 \\ 2x-y-z & = -5 \end{aligned} \\ \rule{ cm}{ + \\ \! \begin{aligned} 3x & = -4 \\ x & = -\dfrac43 \end{aligned} \end{aligned}$ Jadi, nilai $\boxed{x = -\dfrac43}$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 6 Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan $\begin{cases} x+4y-z & =1 \\ -x+2y+z & =2 \\ 2x+6y+z & =-8 \end{cases}$ adalah $\{x,y,z\}$. Hasil kali $x, y, z$ adalah $\cdots \cdot$ A. $-9$ C. $-3$ E. $9$ B. $-6$ D. $6$ Pembahasan Kita beri nama setiap persamaan pada sistem terlebih dahulu. $\begin{cases} x+4y-z & =1 && \cdots 1 \\ -x+2y+z & =2 && \cdots 2 \\ 2x+6y+z & =-8 && \cdots 3 \end{cases}$ Eliminasi $x$ dan $z$ dari persamaan $1$ dan $2$. $\begin{aligned} \! \begin{aligned} x+4y-z & = 1 \\ -x+2y+z & = 2 \end{aligned} \\ \rule{3 cm}{ + \\ \! \begin{aligned} 6y & = 3 \\ y & = \dfrac36 = \dfrac12\end{aligned} \end{aligned}$ Substitusi $y = \dfrac12$ pada persamaan $1 x+4y-z=1$. $\begin{aligned} x+4\left\dfrac12\right-z & = 1 \\ x+2-z&=1 \\ x-z&=-1 && \cdots 4 \end{aligned}$ Substitusi $y = \dfrac12$ pada persamaan $3 2x+6y+z=-8$. $\begin{aligned} 2x+6\left\dfrac12\right+z & = -8 \\ 2x+3+z &=-8 \\ 2x+z&=-11 && \cdots 5 \end{aligned}$ Eliminasi $z$ dari persamaan $4$ dan $5$. $\begin{aligned} \! \begin{aligned} x-z & = -1 \\ 2x+z & = -11 \end{aligned} \\ \rule{ cm}{ + \\ \! \begin{aligned} 3x & = -12 \\ x & = \dfrac{-12}{3} = -4 \end{aligned} \end{aligned}$ Substitusi $x = -4$ pada persamaan $4 x-z = -1$ sehingga diperoleh $-4-z = -1 \Leftrightarrow z = -3.$ Jadi, hasil kali dari $x,y,z$ adalah $\boxed{xyz = -4\left\dfrac12\right-3 = 6}$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 7 Diketahui $\begin{cases} 2x-5y+3z & =-10 \\ 3x+4y+7z & =-11 \\ 5x+3y+7z & =-8 \end{cases}$ mempunyai penyelesaian $x, y, z$. Hasil kali $x,y,z$ adalah $\cdots \cdot$ A. $-10$ C. $-2$ E. $6$ B. $-6$ D. $2$ Pembahasan Kita beri nama setiap persamaan pada sistem terlebih dahulu. $\begin{cases} 2x-5y+3z=-10 & \cdots 1 \\ 3x+4y+7z=-11 & \cdots 2 \\ 5x+3y+7z=-8 & \cdots 3 \end{cases}$ Perhatikan bahwa persamaan $2$ dan $3$ memuat ekspresi $7z$ sehingga variabel $z$ sebaiknya dieliminasi lebih dulu. Eliminasi $z$ dari persamaan $1$ dan $2$. $$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2x-5y+3z& = -10 \\ 3x+4y+7z &=-11 \end{aligned} \left \! \begin{aligned} \times 7 \\ \times 3 \end{aligned} \right & \! \begin{aligned}~14x-35y+21z& = -70\\ 9x+12y+21z & = -33 \end{aligned} \\ & \rule{ cm}{ – \\ & \! \begin{aligned} \color{blue}{5x-47y= -37~~~~\cdots 4} \end{aligned} \end{aligned}$$Selanjutnya, eliminasi $z$ dari persamaan $2$ dan $3$. $\begin{aligned} \! \begin{aligned} 3x+4y+7z & = -11 \\ 5x+3y+7z & = -8 \end{aligned} \\ \rule{ cm}{ – \\ \! \begin{aligned} \color{blue}{-2x+y = -3~~~~\cdots 5} \end{aligned} \end{aligned}$ Eliminasi $x$ dari persamaan $4$ dan $5$. $$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 5x-47y & = -37 \\ -2x+y &=-3 \end{aligned} \left \! \begin{aligned} \times 2 \\ \times 5 \end{aligned} \right & \! \begin{aligned}~10x-94y& = -74 \\ -10x+5y & = -15 \end{aligned} \\ & \rule{ cm}{ + \\ & \! \begin{aligned} -89y & = -89 \\ y & = 1 \end{aligned} \end{aligned}$$Substitusi $y = 1$ pada persamaan $5 -2x+y=-3$. $-2x+1 = -3 \Leftrightarrow x = 2.$ Substitusikan $x = 2$ dan $y = 1$ pada persamaan $1 2x-5y+3z=-10$. $\begin{aligned} 22-51+3z & = -10 \\ 4-5+3z & = -10 \\ 3z & = -9 \\ z & = -3 \end{aligned}$ Jadi, hasil kali dari $x,y,z$ adalah $\boxed{xyz = 21-3 = -6}$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 8 Penyelesaian dari sistem persamaan $\begin{cases} 3x+7y+2z & =8 \\ 4x+2y-5z & =-19 \\ 6y-4z & =14 \end{cases}$ adalah $\cdots \cdot$ A. $x = 5, y = 3$, dan $z = 1$ B. $x = 4, y = -5$, dan $z = 1$ C. $x = -3, y = 4$, dan $z = 1$ D. $x = -5, y = 3$, dan $z = 2$ E. $x = -5, y = 3$, dan $z = 1$ Pembahasan Kita beri nama setiap persamaan pada sistem terlebih dahulu, lalu sederhanakan persamaan ketiga. $\begin{cases} 3x+7y+2z & =8 && \cdots 1 \\ 4x+2y-5z & =-19 && \cdots 2 \\ 3y-2z & =7 && \cdots 3 \end{cases}$ Eliminasi $x$ dari persamaan $1$ dan persamaan $2.$ $$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 3x+7y+2z & = 8\\ 4x+2y-5z &=-19 \end{aligned} \left \! \begin{aligned} \times 4 \\ \times 3 \end{aligned} \right & \! \begin{aligned}~12x+28y+8z& = 32 \\ 12x+6y-15z & = -57 \end{aligned} \\ & \rule{ cm}{ – \\ & \! \begin{aligned} \color{blue}{22y + 23z = 89~~~~\cdots 4} \end{aligned} \end{aligned}$$Selanjutnya, eliminasi $z$ dari persamaan $3$ dan $4.$ $$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 3y-2z & = 7 \\ 22y+23z & = 89 \end{aligned} \left \! \begin{aligned} \times 23 \\ \times 2 \end{aligned} \right & \! \begin{aligned}~69y-46z & = 161 \\ 44y+46z & = 178 \end{aligned} \\ & \rule{ cm}{ + \\ & \! \begin{aligned} 113y & = 339 \\ y & = 3 \end{aligned} \end{aligned}$$Substitusi $y = 3$ pada persamaan $3 3y-2z=7$. $\begin{aligned} 33-2z & = 7 \\ 9-2z & = 7 \\ -2z & = -2 \\ z & = 1 \end{aligned}$ Terakhir, substitusi $y=3$ dan $z = 1$ pada persamaan $1 3x+7y+2z=8$. $\begin{aligned} 3x+73+21 & = 8 \\ 3x + 23 & = 8 \\ 3x & = -15 \\ x & = -5 \end{aligned}$ Jadi, penyelesaian dari sistem persamaan tersebut adalah $x = -5, y = 3$, dan $z = 1$. Jawaban E [collapse] Soal Nomor 9 Perhatikan SPLTV berikut. $$\begin{cases} x+2z & = 3y+2 && \cdots 1 \\ y-z & = -4x-7 && \cdots 2 \\ 3z-2 & = -2x+y-10 && \cdots 3 \end{cases}$$Penyelesaian SPLTV tersebut adalah $\cdots \cdot$ A. $x = 3, y = 3$, dan $z=6$ B. $x = 1, y = 3$, dan $z=-6$ C. $x = 1, y = -3$, dan $z=6$ D. $x = -1, y = 3$, dan $z=6$ E. $x = -1, y = -3$, dan $z=-6$ Pembahasan Ubah bentuk setiap persamaan dari sistem tersebut menjadi bentuk umum. $\begin{cases} x-3y+2z & = 2 && \cdots 1 \\ 4x+y-z & = -7 && \cdots 2 \\ 2x+2y+3z& = 22 && \cdots 3 \end{cases}$ Eliminasi $z$ dari persamaan $1$ dan $2$. $$\begin{aligned} \! \begin{aligned} x-3y+2z & = 2 \\ 4x+y-z & = -7 \end{aligned} \left \! \begin{aligned} \times 1 \\ \times 2 \end{aligned} \right & \! \begin{aligned}~x-3y+2z& = 2 \\~8x+2y-2z & = -14 \end{aligned} \\ & \rule{4 cm}{ + \\ & \! \begin{aligned} \color{blue}{9x-y = -12~~~~\cdots 4} \end{aligned} \end{aligned}$$Eliminasi $z$ dari persamaan $2$ dan $3$. $$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 4x+y-z & = -7 \\ 2x+2y+3z & = 22 \end{aligned} \left \! \begin{aligned} \times 3 \\ \times 1 \end{aligned} \right & \! \begin{aligned}~12x+3y-3z & = -21 \\ 2x+2y+3z & = 22 \end{aligned} \\ & \rule{4 cm}{ + \\ & \! \begin{aligned} \color{blue}{14x+5y = 1~~~~\cdots 5} \end{aligned} \end{aligned}$$Eliminasi $y$ dari persamaan $4$ dan $5$. $$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 9x-y & = -12 \\ 14x+5y & = 1 \end{aligned} \left \! \begin{aligned} \times 5 \\ \times 1 \end{aligned} \right & \! \begin{aligned}~45x-5y & = -60 \\ 14x+5y & = 1 \end{aligned} \\ & \rule{3 cm}{ + \\ & \! \begin{aligned} 59x & = -59 \\ x & = -1 \end{aligned} \end{aligned}$$Substitusi $x = -1$ pada persamaan $4$. $\begin{aligned} 9x-y & = -12 \\ \Rightarrow 9-1-y & = -12 \\ -y & = -3 \\ y & = 3 \end{aligned}$ Substitusi $x = -1$ dan $y=3$ pada persamaan $1$. $\begin{aligned} x-3y+2z & = 2 \\ \Rightarrow -1-33+2z & = 2 \\ -10+2z & = 2 \\ 2z & = 12 \\ z & = 6 \end{aligned}$ Jadi, penyelesaian dari sistem tersebut adalah $\boxed{x = -1, y = 3, z = 6}$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 10 Diketahui sistem persamaan linear $\begin{cases} x+2y+z & =6 \\ x+3y+2z & =9 \\ 2x+y+2z & =12 \end{cases}$ Nilai dari $x+y+z = \cdots \cdot$ A. $3$ C. $6$ E. $9$ B. $4$ D. $8$ Pembahasan Tanpa perlu mencari nilai $x, y, z$ masing-masing, kita dapat menentukan nilai dari $x+y+z$. Diberikan SPLTV berikut. $\begin{cases} x+2y+z & =6 && \cdots 1 \\ x+3y+2z & =9 && \cdots 2 \\ 2x+y+2z & =12 && \cdots 3 \end{cases}$ Jumlahkan ekspresi pada persamaan $1$ dan $3$, $\begin{aligned} \! \begin{aligned} x+2y+z & = 6 \\ 2x+y+2z & = 12 \end{aligned} \\ \rule{ cm}{ + \\ \! \begin{aligned} 3x+3y+3z & = 18 \\ x+y+z & = 6\end{aligned} \end{aligned}$ Jadi, nilai dari $\boxed{x+y+z=6}$ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 11 Perhatikan sistem persamaan linear tiga variabel berikut. $$\begin{cases} x+5y+2z & = -a-b-c && \cdots 1 \\ 3x-y+4z&=5a+b && \cdots 2 \\ 2x+y+5z & = 6a+1 && \cdots 3 \end{cases}$$Jika himpunan penyelesaian sistem persamaan tersebut adalah $\{-2, -3, 4\}$, maka nilai $2a+b+3c = \cdots \cdot$ A. $9$ C. $17$ E. $24$ B. $15$ D. $19$ Pembahasan Diketahui $x, y, z = -2, -3, 4$ merupakan penyelesaian SPLTV tersebut. Substitusi nilai-nilai $x, y, z$ ini pada persamaan $3$. $\begin{aligned} 2x+y+5z & = 6a + 1 \\ 2-2 + -3 + 54 & = 6a+1 \\ -4+-3+20 & = 6a+1 \\ 12 & = 6a \\ a & = 2 \end{aligned}$ Substitusi nilai $x, y, z = -2, -3, 4$ dan $a = 2$ pada persamaan $2$. $\begin{aligned} 3x-y+4z&=5a+b \\ 3-2-3+44 & = 52+b \\ -6+3+16 & = 10+b \\ b & = 3 \end{aligned}$ Substitusikan nilai $x, y, z = -2, -3, 4$, $a = 2$, dan $b = 3$ pada persamaan $1$. $\begin{aligned} x+5y+2z & = -a-b-c \\ -2+5-3+24 & = -2-3-c \\ -2-15+8 & = -5-c \\ -9 & = -5-c \\ c & = 4 \end{aligned}$ Jadi, nilai dari $\boxed{2a+b+3c = 22+3+34 = 19}$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 12 Perhatikan SPLTV berikut. $\begin{cases} 2x+5y+3z & = 9 && \cdots 1 \\ 4x+10y+6z & = d_2 && \cdots 2 \\ 6x+15y+9z & = d_3 && \cdots 3 \end{cases}$ Agar SPLTV tersebut mempunyai banyak penyelesaian, nilai $d_2$ dan $d_3$ yang mungkin adalah $\cdots \cdot$ A. $18$ dan $20$ D. $27$ dan $36$ B. $18$ dan $24$ E. $27$ dan $45$ C. $18$ dan $27$ Pembahasan Jika diketahui SPLTV $$\begin{cases} a_1x + b_1y + c_1z & = d_1 \\ a_2x + b_2y + c_2z & = d_2 \\ a_3x + b_3y + c_3z & = d_3 \end{cases}$$memiliki banyak penyelesaian, maka $\dfrac{a_i}{a_j} = \dfrac{b_i}{b_j} = \dfrac{c_i}{c_j} = \dfrac{d_i}{d_j}$, dengan $i = 1, 2, 3$ dan $j = 1, 2, 3.$ Dengan meninjau persamaan $2$ dan $3$, diperoleh $$\begin{aligned} \dfrac46 & = \dfrac{10}{15} = \dfrac69 = \dfrac{d_2}{d_3} \\ \dfrac{d_2}{d_3} & = \dfrac23 \end{aligned}$$Ini menunjukkan bahwa nilai $d_2$ dan $d_3$ yang mungkin harus memiliki perbandingan $2 3$. Salah satunya adalah $d_2 = 18$ dan $d_3 = 27$, sebab $18 27 = 2 3.$ Jawaban C [collapse] Baca Juga Materi, Soal, dan Pembahasan – Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat Soal Nomor 13 Perhatikan sistem persamaan linear berikut. $\begin{cases} ax+y+2z & = 5 && \cdots 1 \\ bx-y+3z & = 3 && \cdots 2 \\ cx-y+z & = -1 && \cdots 3 \end{cases}$ Jika $a+b=7$ dan $a+c=5$, maka nilai $12x+8z=\cdots \cdot$ A. $8$ C. $12$ E. $18$ B. $10$ D. $16$ Pembahasan Eliminasi $y$ dari persamaan $1$ dan $2$. $\begin{aligned} \! \begin{aligned} ax+y+2z & = 5 \\ bx-y+3z & = 3 \end{aligned} \\ \rule{ cm}{ + \\ \! \begin{aligned} a+bx+5z & = 8 \end{aligned} \end{aligned}$ Karena diketahui $a + b = 7$, maka diperoleh persamaan $4 7x+5z=8$. Eliminasi $y$ dari persamaan $1$ dan $3$. $\begin{aligned} \! \begin{aligned} ax+y+2z & = 5 \\ cx-y+z & = -1 \end{aligned} \\ \rule{ cm}{ + \\ \! \begin{aligned} a+cx+3z & = 4 \end{aligned} \end{aligned}$ Karena diketahui $a + c = 5$, maka diperoleh persamaan $5 5x+3z=4$. Selanjutnya, jumlahkan ekspresi pada persamaan $4$ dan $5$. $\begin{aligned} \! \begin{aligned} 7x +5z & = 8 \\ 5x+3z & = 4 \end{aligned} \\ \rule{ cm}{ + \\ \! \begin{aligned} 12x+8z & = 12 \end{aligned} \end{aligned}$ Jadi, nilai dari $\boxed{12x+8z=12}$ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 14 Diketahui sistem persamaan $\begin{cases} \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} & = 2 \\ \dfrac{2}{y} -\dfrac{1}{z} & = -3 \\ \dfrac{1}{x} -\dfrac{1}{z} & = 2 \end{cases}$ Nilai $x+y+z=\cdots \cdot$ A. $3$ C. $1$ E. $\dfrac13$ B. $2$ D. $\dfrac12$ Pembahasan Misalkan $a = \dfrac{1}{x}, b = \dfrac{1}{y}$, dan $c = \dfrac{1}{z}$ sehingga terbentuk sistem persamaan linear tiga variabel berikut. $\begin{cases} a + b & = 2 && \cdots 1 \\ 2b-c & = -3 && \cdots 2 \\ a-c & = 2 && \cdots 3 \end{cases}$ Eliminasi $a$ dari persamaan $1$ dan $3$. $\begin{aligned} \! \begin{aligned} a + b & = 2 \\ a-c & = 2 \end{aligned} \\ \rule{ cm}{ – \\ \! \begin{aligned} \color{blue}{b+c = 0~~~~\cdots 4} \end{aligned} \end{aligned}$ Eliminasi $c$ dari persamaan $2$ dan $4$. $\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2b-c & = -3 \\ b+c & = 0 \end{aligned} \\ \rule{ cm}{ + \\ \! \begin{aligned}3b & = -3 \\ b & = -1 \end{aligned} \end{aligned}$ Substitusikan $b=-1$ pada persamaan $4 b+c = 0$ untuk memperoleh $-1 + c = 0 \Leftrightarrow c = 1$ Substitusikan $b=-1$ pada persamaan $1 a+b=2$ untuk memperoleh $a+-1=2 \Leftrightarrow a = 3$ Dengan demikian, $\begin{aligned} x + y + z & = \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \\ & = \dfrac13 + \cancel{\dfrac{1}{-1} + \dfrac{1}{1}} \\ & = \dfrac13 \end{aligned}$ Jadi, nilai dari $\boxed{x+y+z=\dfrac13}$ Jawaban E [collapse] Soal Nomor 15 Diketahui sistem persamaan tiga variabel berikut. $$\begin{cases} \dfrac{2}{x+1} + \dfrac{2}{y-3} + \dfrac{3}{z+2} & = 2 && \cdots 1 \\ \dfrac{-4}{x+1} + \dfrac{1}{y-3} + \dfrac{6}{z+2} & = 5 && \cdots 2 \\ \dfrac{4}{x+1} + \dfrac{3}{y-3} + \dfrac{3}{z+2} & = 2 && \cdots 3 \end{cases}$$Himpunan penyelesaian sistem persamaan tersebut adalah $\cdots \cdot$ A. $\{-3, 4, 1\}$ B. $\{-3, 1,2\}$ C. $\{-2,1,1\}$ D. $\left\{\left-\dfrac12, 1, 3\right\right\}$ E. $\left\{\left-\dfrac12, 2, 1\right\right\}$ Pembahasan Misalkan $a = \dfrac{1}{x+1}$, $b = \dfrac{1}{y-3}$, dan $c = \dfrac{1}{z+2}$ sehingga setiap persamaan dari sistem di atas dapat diubah bentuknya menjadi persamaan linear tiga variabel. $\begin{cases} 2a + 2b + 3c & = 2 && \cdots 1 \\ -4a + b + 6c & = 5 && \cdots 2 \\ 4a + 3b + 3c & = 2 && \cdots 3 \end{cases}$ Eliminasi $c$ dari persamaan $1$ dan $2$. $$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2a+2b+3c & = 2 \\ -4a+b+6c & = 5 \end{aligned} \left \! \begin{aligned} \times 2 \\ \times 1 \end{aligned} \right & \! \begin{aligned}~4a+4b+6c& = 4 \\ -4a+b+6c & = 5 \end{aligned} \\ & \rule{ cm}{ – \\ & \! \begin{aligned} \color{blue}{8a + 3b = -1~~~\cdots 4} \end{aligned} \end{aligned}$$Eliminasi $c$ dari persamaan $3$ dan $1$. $\begin{aligned} \! \begin{aligned} 4a+3b+3c & = 2 \\ 2a+2b+3c & = 2 \end{aligned} \\ \rule{ cm}{ – \\ \! \begin{aligned} \color{blue}{2a+b = 0~~~~\cdots 5} \end{aligned} \end{aligned}$ Eliminasi $b$ dari persamaan $4$ dan $5$. $\begin{aligned} \! \begin{aligned} 8a+3b & = -1 \\ 2a+b & = 0 \end{aligned} \left \! \begin{aligned} \times 1 \\ \times 3 \end{aligned} \right & \! \begin{aligned}~8a+3b& = -1 \\ 6a+3b & = 0 \end{aligned} \\ & \rule{ cm}{ – \\ & \! \begin{aligned} 2a & = -1 \\ a & = -\dfrac12 \end{aligned} \end{aligned}$ Substitusi $a = -\dfrac12$ pada persamaan $5$. $\begin{aligned} 2a+b & = 0 \\ \Rightarrow 2\left-\dfrac12\right + b & = 0 \\ -1 + b & = 0 \\ b & = 1 \end{aligned}$ Substitusi $a = -\dfrac12$ dan $b=1$ pada persamaan $1$. $\begin{aligned} 2a + 2b + 3c & = 2 \\ \Rightarrow 2\left-\dfrac12\right + 21 + 3c & = 2 \\ -1 + 2 + 3c & = 2 \\ 3c & = 1 \\ c & = \dfrac13 \end{aligned}$ Dengan demikian, akan ditentukan nilai dari $x, y, z$ dengan mensubstitusikan nilai $a, b, c$ yang telah didapat. $$\begin{aligned} a & = \dfrac{1}{x+1} \Rightarrow -\dfrac12 = \dfrac{1}{x+1} \Leftrightarrow -2 = x + 1 \Leftrightarrow x = -3 \\ b & = \dfrac{1}{y-3} \Rightarrow 1 = \dfrac{1}{y-3} \Leftrightarrow 1 = y-3 \Leftrightarrow y = 4 \\ c & = \dfrac{1}{z+2} \Rightarrow \dfrac13 = \dfrac{1}{z+2} \Leftrightarrow 3 = z+2 \Leftrightarrow z = 1 \end{aligned}$$Jadi, himpunan penyelesaian sistem persamaan tersebut adalah $\{-3, 4, 1\}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 16 Diketahui $x y = 5 3$, sedangkan $y z = 4 5$. Jika $2x+y+z=94$, maka nilai $3y = \cdots \cdot$ A. $12$ C. $20$ E. $45$ B. $15$ D. $36$ Pembahasan Karena $x y = 5 3 = 20 12$ dan $y z = 4 5 = 12 15$, maka $x y z = 20 12 15$. Diketahui $2x+y+z=94 \Leftrightarrow x+y+z=47.$ Dengan demikian $\begin{aligned} y & = \dfrac{12}{20+12+15} \times 47 \\ & = \dfrac{12}{\cancel{47}} \times \cancel{47} = 12 \end{aligned}$ Untuk itu, nilai dari $\boxed{3y = 312 = 36}$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 17 Jika $x y z = 2 1 3$ dan $x+y-2z=-6$, maka nilai $x-y+z=\cdots \cdot$ A. $8$ C. $6$ E. $4$ B. $7$ D. $5$ Pembahasan Dari perbandingan $x y z = 2 1 3$, diketahui bahwa $x = 2y$ dan $z = 3y$. Substitusikan pada persamaan $x+y-2z=-6$ untuk memperoleh $\begin{aligned} 2y+y-23y & = -6 \\ 2y+y-6y & = -6 \\ -3y & = -6 \\ y & = 2 \end{aligned}$ Dengan demikian, $x = 2y = 22 = 4$ dan $z = 3y = 32 = 6$. Jadi, nilai dari $\boxed{x-y+z=4-2+6=8}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 18 Diketahui sistem persamaan berikut. $\begin{cases} x^2+y^2+z^2 & = 6 && \cdots 1 \\ x^2-y^2+2z^2 & = 2 && \cdots 2 \\ 2x^2+y^2-z^2 & = 3 && \cdots 3 \end{cases}$ Salah satu penyelesaian yang memenuhi sistem persamaan di atas adalah $\cdots \cdot$ A. $x=-1, y = \sqrt2, z = \sqrt3$ B. $x=-1, y = \sqrt3, z = \sqrt2$ C. $x=1, y = \sqrt2, z = \sqrt3$ D. $x=\sqrt2, y = \sqrt3, z = \sqrt2$ E. $x=\sqrt2, y = 1, z = \sqrt3$ Pembahasan Misalkan $a = x^2$, $b = y^2$, dan $c = z^2$ sehingga setiap persamaan dari sistem di atas dapat diubah bentuknya menjadi persamaan linear tiga variabel. $\begin{cases} a+b+c & = 6 && \cdots 1 \\ a-b+2c & = 2 && \cdots 2 \\ 2a+b-c & = 3 && \cdots 3 \end{cases}$ Eliminasi $b$ dari persamaan $1$ dan $2$. $\begin{aligned} \! \begin{aligned} a+b+c & = 6 \\ a-b+2c & = 2 \end{aligned} \\ \rule{ cm}{ + \\ \! \begin{aligned} \color{blue}{2a+3c = 8~~~~\cdots 4} \end{aligned} \end{aligned}$ Eliminasi $b$ dari persamaan $2$ dan $3$. $\begin{aligned} \! \begin{aligned} a-b+2c & = 2 \\ 2a+b-c & = 3 \end{aligned} \\ \rule{ cm}{ + \\ \! \begin{aligned} \color{blue}{3a+c = 5~~~~\cdots 5} \end{aligned} \end{aligned}$ Eliminasi $c$ dari persamaan $4$ dan $5$. $\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2a+3c & = 8 \\ 3a+c & = 5 \end{aligned} \left \! \begin{aligned} \times 1 \\ \times 3 \end{aligned} \right & \! \begin{aligned}~2a+3c& = 8 \\ 9a+3c & = 15 \end{aligned} \\ & \rule{ cm}{ – \\ & \! \begin{aligned} -7a & = -7 \\ a & = 1 \end{aligned} \end{aligned}$ Substitusi $a=1$ pada persamaan $5 3a + c = 5$. $\begin{aligned} 31 + c & = 5 \\ c & = 2 \end{aligned}$ Substitusi $a = 1$ dan $c = 2$ pada persamaan $1 a+b+c = 6$ $\begin{aligned} 1+b+2 & = 6 \\ b & = 3 \end{aligned}$ Dengan demikian, akan ditentukan nilai dari $x, y, z$ dengan mensubstitusikan nilai $a, b, c$ yang telah didapat. $\begin{aligned} a & = x^2 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1 \\ b & = y^2 \Rightarrow y^2 = 3 \Rightarrow y = \pm \sqrt3 \\ c & = z^2 \Rightarrow z^2 = 2 \Rightarrow z = \pm \sqrt2 \end{aligned}$ Jadi, salah satu himpunan penyelesaian sistem persamaan tersebut adalah $\{-1, \sqrt3, \sqrt2\}.$ Jawaban B [collapse] Baca Materi, Soal, dan Pembahasan – Aturan Cramer Soal Nomor 19 Diberikan sistem persamaan linear berikut. $\begin{cases} x+2y-3z & =4 \\ 3x-y+5z & =2 \\ 4x+y+a^2-14z & = a+2 \end{cases}$ Sistem di atas tidak memiliki solusi untuk $a = \cdots \cdot$ A. $-4$ atau $4$ D. $-1$ atau $1$ B. $-3$ atau $3$ E. $-4$ saja C. $-2$ atau $2$ Pembahasan Diketahui $$\begin{cases} x+2y-3z & =4 && \cdots 1 \\ 3x-y+5z & =2 && \cdots 2 \\ 4x+y+a^2-14z & = a+2 && \cdots 3 \end{cases}$$Matriks koefisien dari SPLTV tersebut adalah $\begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 \\ 3 & -1 & 5 \\ 4 & 1 & a^2-14 \end{pmatrix}.$ Sistem di atas tidak akan memiliki solusi jika dan hanya jika determinan matriks koefisiennya bernilai $0$. Untuk itu, kita peroleh $$\begin{aligned} \det \begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 \\ 3 & -1 & 5 \\ 4 & 1 & a^2-14 \end{pmatrix} & = 0 \\ \text{Gunakan Aturan Sarrus} & \\ -a^2-14+40-9-12+5+6a^2-84 & = 0 \\ -7a^2 + 112 & = 0 \\ a^2 -16 & = 0 \\ a+4a-4 & = 0 \end{aligned}$$Diperoleh $a = -4$ atau $a = 4.$ Namun, perlu diperiksa bahwa $a = 4$ membuat persamaan $3$ menjadi $4x + y + 2z = 6$ dan persamaan ini setara dengan menjumlahkan persamaan $1$ dan $2$ sehingga kita simpulkan bahwa $a = 4$ akan membuat sistem memiliki banyak solusi. Jadi, nilai $a$ yang membuat sistem tidak memiliki solusi hanya $\boxed{a = -4}$ Jawaban E [collapse] Bagian Uraian Soal Nomor 1 Diberikan sistem persamaan linear tiga variabel SPLTV berikut. $$\begin{cases} x-2y-2z & = 1 \\ 3x-y + z & = -1 \\ 2x+y-z & = 6 \end{cases}$$Dari beberapa pilihan nilai pasangan terurut $x, y, z$ berikut, manakah yang menjadi penyelesaian dari SPLTV di atas dan manakah yang bukan? Tuliskan alasannya masing-masing. a. $x, y, z = 1, -2, -2$ b. $x, y, z = -1, 2, -2$ c. $x, y, z = 1, 2, -2$ d. $x, y, z = -1, -2, 2$ Pembahasan Namai setiap persamaan pada SPLTV yang diberikan. $$\begin{cases} x-2y-2z & = 1 && \cdots 1 \\ 3x-y + z & = -1 && \cdots 2 \\ 2x+y-z & = 6 && \cdots 3 \end{cases}$$Pasangan terurut $x, y, z$ dikatakan sebagai penyelesaian dari SPLTV jika ketiga nilai variabel tersebut memenuhi ketiga persamaan pada SPLTV secara sekaligus ketika disubstitusikan. Jawaban a $x, y, z = 1, -2, -2$ bukan merupakan penyelesaian SPLTV tersebut karena tidak memenuhi setidaknya salah satu persamaan, yaitu persamaan $1.$ $$\begin{aligned} x-2y-2z & = 1 \\ \Rightarrow 1-2-2-2-2 & = 1 \\ 9 & = 1 && \text{salah} \end{aligned}$$Jawaban b $x, y, z = -1, 2, -2$ bukan merupakan penyelesaian SPLTV tersebut karena tidak memenuhi setidaknya salah satu persamaan, yaitu persamaan $1.$ $$\begin{aligned} x-2y-2z & = 1 \\ \Rightarrow -1-22-2-2 & = 1 \\ -1-4 + 4 & = 1 \\ -1 & = 1 && \text{salah} \end{aligned}$$Jawaban c $x, y, z = 1, 2, -2$ merupakan penyelesaian SPLTV tersebut karena memenuhi semua persamaan pada SPLTV tersebut secara sekaligus. Cara memeriksanya adalah dengan menyubstitusikan nilai $x, y, z$ masing-masing pada ketiga persamaan dan lihat apakah persamaan tersebut nantinya bernilai benar/salah. Persamaan $1$ $$\begin{aligned} x-2y-2z & = 1 \\ \Rightarrow 1-22-2-2 & = 1 \\ 1-4+4 & = 1 \\ 1 & = 1 && \text{benar} \end{aligned}$$Persamaan $2$ $$\begin{aligned} 3x-y + z & = -1 \\ \Rightarrow 31-2+-2 & = -1 \\ 3-2-2 & = -1 \\ -1 & = -1 && \text{benar} \end{aligned}$$Persamaan $3$ $$\begin{aligned} 2x+y-z & = 6 \\ \Rightarrow 21 + 2-2 & = 6 \\ 2+2+2 & = 6 \\ 6 & = 6 && \text{benar} \end{aligned}$$Jawaban d $x, y, z = -1, -2, 2$ bukan merupakan penyelesaian SPLTV tersebut karena tidak memenuhi setidaknya salah satu persamaan, yaitu persamaan $1.$ $$\begin{aligned} x-2y-2z & = 1 \\ \Rightarrow -1-2-2-22 & = 1 \\ -1 + 4-4 & = 1 \\ -1 & = 1 && \text{salah} \end{aligned}$$ [collapse] Soal Nomor 2 Tentukan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel berikut. $\begin{cases} \dfrac{2x-y}{5} & = z+1 && \cdots 1 \\ 3x+2 & = y+2z && \cdots 2 \\ \dfrac{5x+2z}{3} & = -\dfrac{y+9}{4} && \cdots 3 \end{cases}$ Pembahasan Ubah setiap persamaan dalam sistem menjadi bentuk umum persamaan linear dan hindari bentuk pecahan guna mempermudah perhitungan. Pada persamaan $1$, $\begin{aligned} \dfrac{2x-y}{5} & = z+1 \\ 2x-y & = 5z + 5 \\ 2x-y-5z & = 5 \end{aligned}$ Pada persamaan $2$, $\begin{aligned} 3x+2 & = y+2z \\ 3x-y-2z & = -2 \end{aligned}$ Pada persamaan $3$, $\begin{aligned} \dfrac{5x+2z}{3} & = -\dfrac{y+9}{4} \\ 45x+2z & = -3y+9 \\ 20x+8z & = -3y-27 \\ 20x+3y+8z & = -27 \end{aligned}$ Sekarang, dapat kita tuliskan SPLTV berikut. $\begin{cases} 2x-y-5z & = 5 && \cdots 1 \\ 3x-y-2z & = -2 && \cdots 2 \\ 20x+3y+8z & = -27 && \cdots 3 \end{cases}$ Eliminasi $y$ pada persamaan $1$ dan $2$. $\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2x-y-5z & = 5 \\ 3x-y-2z & = -2 \end{aligned} \\ \rule{ cm}{ – \\ \! \begin{aligned} \color{blue}{-x-3z = 7~~~~\cdots 4} \end{aligned} \end{aligned}$ Eliminasi $y$ pada persamaan $2$ dan $3$. $$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 3x-y-2z & = -2 \\ 20x+3y+8z & = -27 \end{aligned} \left \! \begin{aligned} \times 3 \\ \times 1 \end{aligned} \right & \! \begin{aligned}~9x-3y-6z& = -6 \\~20x+3y+8z & = -27 \end{aligned} \\ & \rule{ cm}{ + \\ & \! \begin{aligned} \color{blue}{29x+2z = -33~~~~\cdots 5} \end{aligned} \end{aligned}$$Eliminasi $z$ dari persamaan $4$ dan $5$. $$\begin{aligned} \! \begin{aligned} -x-3z & = 7 \\ 29x+2z & = -33 \end{aligned} \left \! \begin{aligned} \times 2 \\ \times 3 \end{aligned} \right & \! \begin{aligned} -2x-6z & = 14 \\ 87x+6z & = -99 \end{aligned} \\ & \rule{ cm}{ + \\ & \! \begin{aligned} 85x & = -85 \\ x & = -1 \end{aligned} \end{aligned}$$Substitusikan $x = -1$ pada persamaan $4$. $\begin{aligned} -x-3z & = 7 \\ \Rightarrow -1-3z & = 7 \\ -3z & = 6 \\ z & = -2 \end{aligned}$ Substitusikan $x = -1$ dan $z = -2$ pada persamaan $1$. $\begin{aligned} 2x-y-5z & = 5 \\ \Rightarrow 2-1-y-5-2 & = 5 \\ -2-y+10 & = 5 \\ -y & = -3 \\ y & = 3 \end{aligned}$ Jadi, penyelesaian sistem tersebut adalah $\boxed{x,y,z = -1, 3, -2}$ [collapse] Soal Nomor 3 Diketahui sistem persamaan tiga variabel berikut. $$\begin{cases} -\dfrac{4}{x+2} + \dfrac{4}{y+1} + \dfrac{9}{z-1} & = -6 && \cdots 1 \\ \dfrac{8}{x+2}- \dfrac{6}{y+1} + \dfrac{3}{z-1} & = 4 && \cdots 2 \\ \dfrac{4}{x+2} + \dfrac{2}{y+1}- \dfrac{6}{z-1} & = 2 && \cdots 3 \end{cases}$$ a. Tentukan HP SPLTV tersebut. b. Tentukan nilai $5x-y-2z$. Pembahasan Jawaban a Misalkan $a = \dfrac{1}{x+2}$, $b = \dfrac{1}{y+1}$, dan $c = \dfrac{1}{z-1}$ sehingga setiap persamaan dari sistem di atas dapat diubah bentuknya menjadi persamaan linear tiga variabel. $\begin{cases} -4a+4b+9c & = -6 && \cdots 1 \\ 8a-6b+3c& = 4 && \cdots 2 \\ 4a+2b-6c & = 2 && \cdots 3 \end{cases}$ Eliminasi $a$ dari persamaan $1$ dan $2$. $$\begin{aligned} \! \begin{aligned} -4a+4b+9c & = -6 \\ 8a-6b+3c & = 4 \end{aligned} \left \! \begin{aligned} \times 2 \\ \times 1 \end{aligned} \right & \! \begin{aligned} -8a+8b+18c & = -12 \\ 8a-6b+3c & = 4 \end{aligned} \\ & \rule{ cm}{ + \\ & \! \begin{aligned} \color{blue}{2b+21c = -8~~~\cdots 4}\end{aligned} \end{aligned}$$Eliminasi $a$ dari persamaan $1$ dan $3$. $\begin{aligned} \! \begin{aligned} -4a+4b+9c & = -6 \\ 4a+2b-6c & = 2 \end{aligned} \\ \rule{ cm}{ + \\ \! \begin{aligned} \color{blue}{6b+3c = -4~~~~\cdots 5} \end{aligned} \end{aligned}$ Eliminasi $b$ dari persamaan $4$ dan $5$. $\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2b+21c & = -8 \\ 6b+3c & = -4 \end{aligned} \left \! \begin{aligned} \times 3 \\ \times 1 \end{aligned} \right & \! \begin{aligned}~6b+63c& = -24 \\ 6b+3c & = -4 \end{aligned} \\ & \rule{ cm}{ – \\ & \! \begin{aligned} 60c & = -20 \\ c & = -\dfrac13 \end{aligned} \end{aligned}$ Substitusi $c = -\dfrac13$ pada persamaan $5$. $\begin{aligned} 6b + 3c & = -4 \\ \Rightarrow 6b + 3\left-\dfrac13\right & = -4 \\ 6b-1& = -4 \\ 6b & = -3 \\ b & = -\dfrac12 \end{aligned}$ Substitusi $b = -\dfrac12$ dan $c = -\dfrac13$ pada persamaan $3$. $$\begin{aligned} 4a+2b-6c & = 2 \\ 2a + b-3c & = 1 && \text{Bagi}~2 \\ \Rightarrow 2a+\left-\dfrac12\right-3\left-\dfrac13\right & = 1 \\ 2a-\dfrac12+1 & = 1 \\ 2a & = \dfrac12 \\ a & = \dfrac14 \end{aligned}$$Dengan demikian, akan ditentukan nilai dari $x, y, z$ dengan mensubstitusikan nilai $a, b, c$ yang telah didapat. $$\begin{aligned} a &= \dfrac{1}{x+2} \Rightarrow \dfrac14 = \dfrac{1}{x+2} \Leftrightarrow 4 = x + 2 \Leftrightarrow x = 2 \\ b &= \dfrac{1}{y+1} \Rightarrow -\dfrac12 = \dfrac{1}{y+1} \Leftrightarrow -2 = y+1 \Leftrightarrow y = -3 \\ c & = \dfrac{1}{z-1} \Rightarrow -\dfrac13 = \dfrac{1}{z-1} \Leftrightarrow -3 = z-1 \Leftrightarrow z = -2 \end{aligned}$$Jadi, himpunan penyelesaian sistem persamaan tersebut adalah $\{2, -3, -2\}$ Jawaban b Substitusi $x, y, z = 2, -3, -2$ pada ekspresi $5x-y-2z$ untuk memperoleh $$\boxed{52-3-2-2 = 10+3+4 = 17}$$ [collapse] Soal Nomor 4 Diketahui segitiga $KLM$ dengan panjang sisi yang membentuk SPLTV berikut. $\begin{cases} 2KL-LM & = 17~\text{cm} && \cdots 1 \\ LM+2KM & = 73~\text{cm} && \cdots 2 \\ KL+\dfrac{KM}{5} & = 25~\text{cm} && \cdots 3 \end{cases}$ Tentukan a. panjang $KM$; b. panjang $KL$; c. keliling segitiga $KLM$. Pembahasan Pertama-tama, kalikan $5$ di kedua ruas pada persamaan $3$ untuk menghindari bentuk pecahan. $$\begin{cases} 2KL-LM & = 17~\text{cm} && \cdots 1 \\ LM+2KM & = 73~\text{cm} && \cdots 2 \\ 5KL+KM & = 125~\text{cm} && \cdots 3 \end{cases}$$Eliminasi $LM$ dari persamaan $1$ dan $2$. $\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2KL-LM & = 17 \\ LM+2KM & = 73 \end{aligned} \\ \rule{ cm}{ + \\ \! \begin{aligned} 2KL+2KM & = 90 \\ KL + KM & = 45~~~~\cdots 4 \end{aligned} \end{aligned}$ Eliminasi $KM$ dari persamaan $3$ dan $4$. $\begin{aligned} \! \begin{aligned} 5KL+KM & = 125 \\ KL+KM & = 45 \end{aligned} \\ \rule{ cm}{ – \\ \! \begin{aligned} 4KL & = 80 \\ KL & = 20~\text{cm} \end{aligned} \end{aligned}$ Substitusi $KL = 20~\text{cm}$ pada persamaan $4$. $\begin{aligned} KL + KM & = 45 \\ 20 + KM & = 45 \\ KM & = 25~\text{cm} \end{aligned}$ Substitusi $KL = 20~\text{cm}$ pada persamaan $1$. $\begin{aligned} 2KL-LM & = 17 \\ 220-LM & = 17 \\ LM & = 23~\text{cm} \end{aligned}$ Jawaban a Panjang sisi $KM$ adalah $\boxed{25~\text{cm}}$ Jawaban b Panjang sisi $KL$ adalah $\boxed{20~\text{cm}}$ Jawaban c Keliling segitiga $KLM$ dapat ditentukan dengan menjumlahkan semua paniang sisinya, yaitu $\begin{aligned} k & = KL + KM + LM \\ & = 20+25+23 = 68~\text{cm}. \end{aligned}$ [collapse]

diketahui sistem persamaan linear tiga variabel berikut